MODELLO DELLA CONDUZIONE, EFFETTO JOULE

Dalla relazione di proporzionalità diretta tra la corrente in un conduttore e campo elettrico applicato, definita da J=σE, segue che deve esistere un'analoga relazione di proporzionalità tra la velocità v nei conduttori ed il campo elettrico E applicato; da J=nqv_de da J=σE possiamo esprimere questa velocità come v=[σ/(nq)]E. Poichè il campo elettrico è proporzionale alla forza F agente sui portatori, poichè dotati di carica, la velocità nei portatori deve necessariamente risultare proporzionale a questa forza, si ha F=(nq²/σ)v. A differenza delle cariche poste nel vuoto, le cariche nei conduttori non accelerano sotto l'azione di un campo elettrico.

Paul Drude formulò un modello di conduzione elettrica secondo il quale un conduttore metallico può essere schematizzato come un reticolo ionico immerso in un gas di elettroni. Poichè ci sono impurità nel materiale che lo costituisce e a causa dell'agitazione termica che sposta continuamente le posizioni di equilibrio degli ioni nel reticolo, gli elettroni subiscono numerosi urti, cambiando ogni volta direzione in maniera casuale.

In assenza di un campo elettrico applicato , il flusso degli elettroni nel reticolo è nullo. Se applichiamo un campo elettrico E si osserva che al moto disordinato si sovrappone un moto più lento degli elettroni nella direzione opposta a quella del campo, con velocità media dell'ordine di 10^-6m/s. Questo piccolo valore non altera la velocità degli elettroni che si può ritenere indipendente dal campo E. L'azione del campo elettrico su ogni elettrone si dimostra tra due urti successivi , in questa fase il moto dell'elettrone di può ritenere libero. La velocità v dell'elettrone al termine della fase, che assumiamo abbia durata ∆t, vale:

dove v₀è la velocità con cui l'elettrone è emerso dall'urto precedente. Il valore medio di questa velocità per tutti gli elettroni è:

dove τ, detto tempo libero medio, è il tempo medio che intercorre tra due urti successivi col reticolo. Poichè v₀varia in maniera casuale, il suo valore medio è nullo, quindi la velocità media degli elettroni nella direzione del campo E, cioè la velocità di deriva, è:

Da J=-env_dsi ha:

e confrontando questa con la legge di ohm puntuale si ha:

la conducibilità in un materiale aumenta sia col crescere del numero di elettroni disponibili alla conduzione che con l'aumentare del tempo τ. Il tempo libero medio può essere espresso come il prodotto della velocità media degli elettroni v_me la distanza media percorsa da un elettrone tra due urti consecutivi λ, detto libero cammino medio:

Per calcolare il libero cammino medio consideriamo il moto di un elettrone nel reticolo ionico omogeneo, che possiamo schematizzare come una disposizione regolare di sfere rigide di raggio R. L'elettrone urterà con uno ione se si sposterà lungo una traiettoria la cui distanza dal centro dello ione risulta inferiore a R. Considero un intervallo di tempo ∆t1; in questo intervallo l'elettrone percorre una distanza pari a v∆t1. Se nel volume cilindrico πR²∆t1 è contenuto uno degli ioni del reticolo, l'elettrone colliderà contro di esso modificando la sua traiettoria; analogamente succederà per un'altro intervallo di tempo ∆t2 e via dicendo. Se il numero di ioni per unità di volume è pari a n_ioni, nel tempo ∆t l'elettrone subirà un numero di collisioni pari a n_ioniπR²∆t percorrendo una distanza pari a v∆t.

Il libero cammino medio è pari al rapporto tra la distanza complessiva percorsa dall'elettrone e il numero di urti subiti:

Sostituendo questa in:

e usando:

si ha:

Il modello di conduzione descritto suggerisce un processo di dissipazione di energia correlato al meccanismo della conduzione. L'energia fornita alle cariche attraverso l'applicazione di un campo elettrico non ne determina l'incremento dell'energia cinetica che resta in media costante. Questa energia viene trasferita al reticolo ionico costituente il conduttore, attraverso l'urto con gli elettroni; questa energia viene dissipata in calore, determinando l'aumento della temperatura del conduttore percorso da corrente. Questo processo viene è detto effetto Joule.

La potenza impiegata da una forza F per imprimere una velocità v_dad un corpo vale F·v_dquindi:

dove F è determinata dall'azione di un campo elettrico E su di un elettrone. Se n indica la concentrazione di elettroni di conduzione all'interno del conduttore, la potenza dissipata per unità di volume è:

dove si è usato J=-env_d.

Questa relazione esprime la legge di Joule in forma locale e p prende il nome di densità di potenza. Per un conduttore rettilineo, di sezione S e lunghezza l dove la densità J è uniforme su S, potenza erogata vale: