IL VETTORE SPOSTAMENTO ELETTRICO

Un materiale dielettrico è caratterizzato da un momento di dipolo intrinseco o di un momento di dipolo prodotto dall'applicazione di un campo elettrico esterno al materiale. In assenza di un campo elettrico esterno applicato, i dipoli elementari o sono orientati a caso oppure sono assenti. L'azione di allineamento del campo elettrico esterno risulta incompleta per effetto dell'agitazione termica. Il grado di allineamento aumenta al diminuire della temperatura e all'aumentare dell'intensità del campo elettrico. Se si applica un campo elettrico esterno ogni molecola acquisisce un momento di dipolo parallelo al campo esterno Eo. 

Sia n il numero di molecole per unità di volume e <p> il momento di dipolo medio delle molecole, allora una misura del grado di allineamento delle molecole di un dielettrico è data dal vettore P definito come:

Questo vettore è chiamato vettore di polarizzazione e si misura in C/m². Il vettore P può variare puntualmente a causa di disomogenie nel materiale o per la presenza di cariche libere interne al dielettrico. Il modulo del vettore polarizzazione è la risultante di tutti i dipoli, cioè il prodotto della carica di polarizzazione per la distanza q_Pd diviso per il volume compreso tra le armature Sd:

vettorialmente, se n' (versore) è la normale uscente al dielettrico:

n' (versore) coincide con -x' (versore), poichè σ_P<0, segue che P è diretto nel verso positivo delle x. 

Sia n (versore) la normale alla superficie di un'armatura del condensatore, se σ è la densità di carica presente sulla superficie, si definisce vettore spostamento elettrico il vettore D tale che:

D si esprime in C/m². D ha la stessa direzione di E e del vettore P, quindi D ed n (versore) sono paralleli: 

poichè il modulo di P vale σ_P, sostituendo in:

 

troviamo:

Questa relazione ha validità generale e si ha:

Nella maggior parte dei dielettrici P è proporzionale a E:

i dielettrici che soddisfano questa relazione dove χ_e prende il nome di suscettività dielettrica del materiale e ci fornisce un'indicazione che ha il mezzo di polarizzarsi sotto l'azione di un campo elettrico E. Consideriamo un dielettrico lineare; esprimiamo la densità di carica di polarizzazione σ_P tramite:

e:

come ε₀χ_eE e sostituendo in:

si ha:

da cui segue:

che esprime l'intensità del campo elettrico nel condensatore piano col dielettrico. In un condensatore piano la differenza di potenziale V tra le armature vale Ed, quindi:

dove Q è la carica distribuita sulle armature. Da C=Q/V si ha:

Se confrontiamo con:

segue:

quest'identità ha validità generale, se sostituiamo la:

in:

e usando quest'identità, si ha:

Consideriamo un conduttore sulla cui superficie S' è presente una carica libera q distribuita con densità σ; suppongo che il conduttore sia immerso in un materiale dielettrico omogeneo ed isotropo, privo di cariche libere al suo interno, di costante dielettrica relativa ε_r.

La carica q può esprimersi attraverso la densità σ come:

usando:

poichè ds è uguale a n(versore)ds, si trova:

Questa espressione mostra come si può esprimere la carica presente sulla superficie del conduttore come il flusso del vettore D attraverso una superficie S'. Il flusso del vettore attraverso una superficie è una misura del numero di linee di forza che attraversano questa superficie, quindi se si considera una qualsiasi superficie S chiusa che contiene interamente il conduttore sul quale è presente la carica q, questa superficie risulterà attraversata dalle stesse linee di D che si originano da S':

sostituendo in:

si trova:

Quest'espressione rappresenta la legge di Gauss per i materiali dielettrici, e ci dice che il flusso del vettore spostamento attraverso una superficie chiusa, contenente sia cariche libere che cariche di polarizzazione, dipende solo dalle cariche libere presenti al suo interno. La superficie chiusa S può intersecare il dielettrico invece che contenerlo interamente, quindi la carica di polarizzazione contenuta all'interno di S non è nulla. Sostituendo:

in:

si ha:

Nei dielettrici la legge di Gauss per il campo elettrico si esprime come:

quindi, il vettore spostamento per la descrizione dei dielettrici permette di non considerare la carica di polarizzazione.

L'espressione di Gauss per un dielettrico dove ci sono sia cariche libere q che cariche di polarizzazione q_P è:

dove ρ e ρ_P sono le densità volumetrica delle cariche libere e la densità volumetrica delle cariche di polarizzazione. Usando il teorema della divergenza si ha che a questa relazione integrale corrisponde l'espressione puntuale:

e da:

corrisponde l'espressione puntuale:

Applicando l'operatore divergenza a entrambi i membri di:

si ottiene:

così, sostituendo la divergenza di D e la divergenza di E dalle precedenti relazioni si ha:

da cui segue:

La presenza di cariche volumetriche di polarizzazione è determinata dalla presenza di disomogenie nel materiale che fanno si che alcune regioni si polarizzino inversamente da altre; un valore ρ_P non nullo può essere causato dalla presenza di cariche libere interne al materiale che deformano la regolarità dell'allineamento dei dipoli elementari. In assenza di cariche libere nel dielettrico la divergenza di D è nulla e da:

anche la divergenza di E è nulla e, di conseguenza da:

risulta che:

è nulla. In un dielettrico lineare, quindi, la densità volumetrica della carica di polarizzazione è nulla in assenza di cariche libere e le cariche di polarizzazione sono distribuite esclusivamente sulle superfici.