Un elemento di carica σds situato sulla superficie di un conduttore è soggetto al campo elettrico dovuto a tutte le cariche dello stesso conduttore, e quindi ad una forza F. In condizioni di equilibrio elettrostatico questa forza è perpendicolare alla superficie ds, perchè se ci fosse una componente diretta tangenzialmente allora si avrebbe il moto delle cariche del conduttore. Per calcolare la forza F consideriamo un conduttore all'equilibrio sul quale è distribuita una carica con densità superficiale σ ed il cui campo elettrico sulla superficie vale E. Dal teorema di Coulomb, il campo vale (σ/ε0)n(versore). La forza sull'elemento di carica σds non è E σds poichè il campo che agisce sull'elemento σds è quello prodotto dalle altre cariche del sistema. Osservando la figura, utilizzando Gauss, deduciamo che il campo elettrico prodotto dall'elemento di carica σds vale (σ/2ε0)n(versore) sulla superficie esterna del conduttore e -(σ/2ε0)n(versore) sulla superficie interna. Le altre cariche del conduttore determinano un campo pari a (σ/2ε0)n(versore) in modo che il campo complessivo nelle vicinanze dell'elemento di carica considerato, dal teorema di Coulomb questo vale (σ/ε0)n(versore) all'esterno ed è nullo all'interno.
L'intensità della forza dF, che agisce sull'elemento di carica σds, è data da:
da (σ/ε0)n(versore), la densità di forza superficiale sul conduttore, o pressione elettrostatica, vale:
La forza elettrostatica complessiva agente su un conduttore in equilibrio di superficie S, sul quale è distribuita una carica, è data da:
Poichè il vettore ds punta verso l'esterno del conduttore, la forza F è sempre diretta all'esterno del conduttore, quindi il campo elettrico esercita una pressione negativa sul conduttore.
Supponiamo che un conduttore in equilibrio si espande di un fattore dx per effetto della pressione elettrostatica; l'espansione determina un'aumento del volume del conduttore di un fattore dV pari a Sdx, dove S rappresenta la superficie del conduttore. Poichè il campo elettrico all'interno di un conduttore all'equilibrio è nullo, in corrispondenza dell'espansione si ha una diminuzione dell'energia elettrostatica del sistema; questa diminuzione vale:
Questa variazione dell'energia è dovuta al lavoro dL esercitato dal campo elettrico sul campo elettrico per determinare l'espansione:
e, dal principio di conservazione dell'energia, vale la:
poichè dUe=dL. Questa tecnica per trovare la forza a partire dall'espressione dell'energia in termini di una certa variabile prende il nome di principio dei lavori virtuali.
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