CARICA E SCARICA DI UN CONDENSATORE

Consideriamo il circuito in figura dove il condensatore C è inizialmente scarico, suppongo che all'istante t=0 l'interruttore T viene chiuso;

utilizzando la seconda legge di Kirchhoff si ha:

dove V è la forza elettromotrice erogata dal generatore e v(t) la differenza di potenziale ai capi del condensatore. Dal principio di conservazione della carica segue che la variazione dq della carica q(t) presente sulle armature del condensatore, che si manifesta nel tempo dt, è uguale alla carica i(t)dt che attraversa la resistenza R:

il segno della variazione dq è positivo poichè al passaggio della carica i(t)dt nella resistenza corrisponde un aumento della carica sulle armature del condensatore. Poichè:

sostituendo in:

e usando:

si ottiene:

Separando le variabili e integrando, si ha:

posto:

segue:

da cui si ha:

Usando:

possiamo ricavare la legge di variazione della differenza di potenziale ai capi del condensatore:

La quantità τ ha le dimensioni di un tempo e prende il nome di costante di tempo del circuito e rappresenta il tempo, misurato rispetto all'istante iniziale, in corrispondenza del quale la differenza di potenziale ai capi del condensatore risulta inferiore di 1/e volte rispetto al valore massimo.

L'espressione della corrente attraverso la resistenza può essere ricavata grazie a:

attraverso la relazione:

quindi:

notiamo che all'istante iniziale t=0 la corrente vale V/R, cioè uguale al valore della corrente che circolerebbe nel circuito qualora il condensatore fosse sostituito da un cortocircuito;

quindi per t=0, da:

segue q(t)=0 e da:

anche v(t)=0. Se il condensatore avesse, all'istante iniziale, una carica non nulla, cioè q(0)=q₀, l'integrazione di:

si effettuerebbe nella seguente maniera:

da cui segue:

Indicando con v₀la differenza di potenziale presente all'istante iniziale tra le armature del condensatore:

la differenza di potenziale ai capi di un condensatore in un generico istante, si scrive:

Se il condensatore è inizialmente scarico, l'energia U erogata dal generatore nel processo di carica vale:

al termine del processo di carica, metà di questa energia diventa energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore:

l'altra metà è dissipata per effetto Joule nella resistenza, utilizzando P=VI=V²/R=I²R si ha:

Consideriamo il circuito in figura nel quale il condensatore C è inizialmente carico, cioè q(0)=q₀, nell'istante in cui il tasto T viene chiuso;

utilizzando la seconda legge di Kirchhoff al circuito, si ha:

poichè vale:

si ha:

Nel tempo dt la resistenza è attraversata da una carica i(t)dt, dal principio di conservazione della carica segue che questa quantità deve rappresentare anche la diminuzione della carica q(t) posseduta dal condensatore, si ha: