La divergenza di J nulla che definisce il regime stazionario ha conseguenze importanti. Una di queste è che il vettore J non ha componenti perpendicolari alla superficie del conduttore; se non fosse così e J avesse una componente diretta come il vettore tratteggiato in figura, si manifesterebbe localmente un progressivo accumulo di carica e risulterebbe la derivata parziale di ρ fratto la derivata parziale di t diversa da zero. Da J=σE risulta che il campo elettrico non ha componenti perpendicolari alla superficie del conduttore.
Consideriamo un conduttore percorso da una corrente stazionaria di densità J, sia S una superficie chiusa che interseca il conduttore in corrispondenza delle sezioni S1 ed S2;
poichè J non ha componenti normali alla superficie del conduttore, gli unici contributi al flusso di J attraverso S provengono da S1 ed S2:
per il teorema della divergenza e dalla divergenza di J nulla abbiamo:
essendo V il volume contenuto in S, poichè:
è uguale alla corrente I1 che attraversa S1 e, analogamente:
è la corrente I2 che attraversa S2, da:
segue:
Questa relazione, verificata da Peter Barlow, afferma che in condizioni stazionarie la corrente attraverso ogni sezione del conduttore è la stessa. Tale risultato può essere generalizzato al caso di n fili conduttori, ognuno percorso dalle correnti I1, I2,...,In, che convergono tutte in uno stesso punto chiamato nodo. Utilizzando:
per una generica superficie chiusa S che racchiude il nodo, si ha:
in regime stazionario, la somma algebrica delle correnti che confluiscono in un nodo è nulla. Assumendo, per esempio, positive le correnti che entrano nel nodo e negative quelle uscenti, questa legge, detta legge di Kirchhoff per le correnti (o prima legge di Kirchhoff), ci dice che la somma delle correnti entranti nel nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti.
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