LEGGE DI AMPERE-MAXWELL

La legge di Ampere afferma che nel vuoto, in presenza di una corrente I, il campo magnetico B soddisfa la relazione:

dove S è superficie che ha come contorno la linea C che si concatena con la corrente I e lungo la quale si calcola la circuitazione del campo magnetico B. A questa relazione corrisponde l'espressione differenziale:

applichiamo l'operatore divergenza a entrambi i membri, abbiamo:

Questa relazione è simile con l'equazione di continuità nel caso stazionario, ma non lo è quando la densità di carica ρ varia nel tempo, cioè:

Maxwell per rimediare alle contraddizioni del precedente esempio estese il concetto di densità di corrente nel seguente modo. Modifichiamo l'espressione

aggiungiamo al secondo membro un vettore Js da determinarsi così da rendere compatibile questa espressione con l'equazione di continuità:

il vettore Js ha le dimensioni di una densità di corrente. Applichiamo ad ambi i membri l'operatore divergenza, abbiamo:

poichè il primo membro è nullo, abbiamo:

Se questa espressione deve risultare in accordo con l'equazione di continuità, dobbiamo porre:

dove abbiamo utilizzato la legge di Gauss espressa in forma differenziale (vedere capitolo sull'elettrostatica). Da questa relazione segue:

scegliamo poi la seguente soluzione:

La nuova espressione della legge di Ampere è:

in questa forma chiamata legge di Ampere-Maxwell. La seguente relazione coincide con la legge di Ampere nel caso stazionario, dove i campi elettrici non dipendono dal tempo, ed è compatibile con l'equazione di continuità. Il vettore Js è chiamato densità di corrente di spostamento e il flusso attraverso una superficie è:

Is si chiama corrente di spostamento. Nel caso stazionario la densità di corrente di spostamento. Nel caso stazionario la densità di corrente di spostamento va aggiunta alla densità di corrente J, ottenendo in questo modo una densità di corrente totale generalizzata:

che è sempre soleinoidale. Calcolando il flusso di entrambi i membri dell'espressione della legge di Ampere-Maxwell su una generica superficie e applicando al primo membro il teorema del rotore, noteremo che il teorema della circuitazione di Ampere vale, istante per istante, anche in condizioni non stazionarie, pur di considerare in luogo della corrente di conduzione, la corrente totale generalizzata. Questa trattazione vale solo in presenza di mezzi materiali; nel caso in cui lo spazio è riempito da un materiale dielettrico utilizziamo il vettore spostamento elettrico D, la cui divergenza è legata alla densità di carica libera ρ; in questo caso la densità di corrente totale generalizzata si scrive:

e la legge di Ampere-Maxwell si scrive:

Se nella densità di corrente Jt deve essere compresa anche la densità di corrente amperiana Jm (questo non altera la solenoidalità della densità di corrente totale generalizzata), si ha: