FORMULAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LEGGE DI FARADAY-HENRY

Consideriamo un percorso fisso C di superficie S, se applichiamo il teorema del rotore al primo membro abbiamo:

abbiamo:

dove la derivata rispetto al tempo è stata portata sotto il segno di integrale essendo il percorso C fisso; segue:

poichè deve valere quest'identità per ogni dominio d'integrazione S, la funzione integranda deve essere nulla, segue:

(LEGGE DI FARADAY IN FORMA DIFFERENZIALE).

Usando il potenziale vettore:

Possiamo generalizzare l'espressione:

Sostituiamo il potenziale vettore nella formula di Faraday espressa in forma differenziale, abbiamo:

ovvero:

La quantità tra parentesi è uguale al gradiente di una funzione:

Con V potenziale elettrostatica. Il campo E può esprimersi come:

il campo elettrostatico è somma di due termini: il gradiente di V determinato dalle distribuzioni di carica e la derivata parziale di A fratto la derivata parziale di t dovuta alla variazione temporale del potenziale vettore A. Dalle relazioni:

e

usando il teorema del rotore, la forza elettromotrice v indotta in un circuito C di superficie S vale: