TRASMISSIONE DI SEGNALI

Consideriamo un'onda elettromagnetica piana di tipo armonica, in moto lungo le x con velocità v. Il campo elettrico nel piano di polarizzazione è:

Questa funzione è illimitata lungo le x e lungo t; poichè è periodica è periodica sia spazialmente che temporalmente, non è soggetta ad alcuna variazione della forma nel corso del tempo o lungo la direzione di propagazione. Un segnale può essere generato dalla somma di infinite onde di tipo armonico. Prendiamo in considerazione un impulso generato dalla sovrapposizione di due onde armoniche in moto nella stessa direzione, aventi stessa ampiezza E0 e caratterizzate da due pulsazioni ω e ω' e da numeri d'onda k e k'. L'onda risultante dalla sovrapposizione è data:

dove ∆k=k-k' e ∆ω=ω-ω', in cui |∆k|<<k e |∆ω|<<ω essendo per ipotesi k molto prossimo k' e anche ω molto prossimo a ω'. Il termine cos(kx-ωt), detto onda portante, dice che l'onda creata dalla composizione si propaghi con caratteristiche simili a quelle delle onde componenti, ma con ampiezza modulata dal termine 2E0cos[(∆k/2)x-(∆ω/2)t].

L'onda portante si propaga con velocità:

il termine di modulazione si propaga invece con velocità:

detta velocità di gruppo che rappresenta la velocità con cui si propaga la risultante della composizione delle infinite onde armoniche. Questa risultante prende il nome di pacchetto d'onde. La velocità di gruppo è definita come:

Da v=ω/k e dalla velocità di gruppo segue:

quindi, solo nei mezzi materiali dove la velocità di fase non dipende dal numero d'onda (il mezzo in questo caso è detto non dispersivo) le due velocità coincidono.

Inoltre:

dove abbiamo usato v=ω/k e v=c/n; questa relazione permette il confronto tra velocità di gruppo e velocità di fase studiando il segno della derivata dn/dω, siccome:

poichè il fattore n/ω è positivo, si ha:

Nel vuoto, la velocità di fase per un'onda elettromagnetica è uguale a c, allora v_g può essere maggiore o minore di c. Negli intervalli di valori di ω in cui dn/dω>0, detti regioni di dispersione anomala, le approssimazioni fatte per confrontare la velocità di gruppo con la velocità di fase non sono più valide; la velocità di gruppo risulta sempre minore di c.

Consideriamo un segnale formato dalla composizione di infinite componenti che si propaga nel vuoto; in tale circostanza la velocità di gruppo del segnale coincide con la velocità di fase, il segnale si sposterà nello spazio senza subire alterazioni. Se lo stesso segnale si propaga in un mezzo dispersivo, siccome la velocità di ognuna componente è diversa dalle altre, si determinerà un'allargamento ed un appiattimento della forma del segnale. Questa deformazione aumenta quando l'impulso attraversa il mezzo dispersivo; un segnale formato da una successione d'impulsi si può alterare fino a diventare indecifrabile.