TEOREMA DI POYNTING

Prendiamo in considerazione una regione nello spazio di volume V dove un campo elettrico E determina una densità di corrente J, la potenza istantanea dissipata nel volume per effetto Joule è :

Dalla quarta equazione di Maxwell la densità di corrente J può esprimersi come:

sostituendola nella potenza dissipata si ha:

Dall'identità vettoriale:

dove il rotore di E è riscritto come meno la derivata parziale di B fratto la derivata parziale rispetto al tempo, segue:

sostituendo questa relazione nella potenza dissipata, abbiamo:

assumendo che il volume V non si muovi, si ha:

Applicando il teorema della divergenza all'ultimo integrale si ha:

dove S è la superficie di contorno di V. Quest'identità prende il nome di teorema di Poynting, si può rappresentare in forma differenziale nella forma:

che esprime il bilancio energetico, dove la variazione dell'energia contenuta in una superficie chiusa è dovuta sia dal flusso di energia delle onde elettromagnetiche che attraversa la superficie che all'energia interna spesa per determinare il moto delle cariche all'interno del volume racchiuso dalla superficie.