ONDE ARMONICHE

Quando Ψ(ξ) è una funzione periodica del suo argomento, l'onda è detta armonica. Sono periodiche le onde armoniche o sinusoidali, come:

per verificare che tale funzione soddisfi l'equazione delle onde deriviamo prima rispetto a x::

poi facciamo la derivata seconda sempre rispetto a x:

Ora prendendo l'equazione principale deriviamo rispetto a t e poi facciamo la derivata seconda, avremo:

Confrontando la derivata seconda rispetto a t e la derivata seconda rispetto alle x, segue:

Qualora l'argomento del coseno fosse diverso da [k(x-vt)] per una fase arbitraria, la funzione Ψ(x,t) sarebbe soluzione dell'equazione delle onde. Sviluppando l'argomento Ψ(x,t) possiamo riscrivere la funzione:

dove ω  p detta pulsazione dell'onda ed è legata alla velocità v tramite k che prende il nome di numero d'onda:

La velocità v indica la velocità con cui si sposta la fase dell'onda e viene detta velocità di fase.

Il periodo spaziale λ prende il nome di lunghezza d'onda e risulta:

mentre il periodo temporale T è:

tra T e λ vale la relazione: