LINEE DI TRASMISSIONE

Una linea di trasmissione è un mezzo per trasferire energia da un generatore ad un utilizzatore. Per basse frequenze si usano normali conduttori e il loro studio può essere risolto con la teoria dei circuiti.

Se E e B sono perpendicolari tra loro e perpendicolari all'asse del cavo, si ha:

in questo il campo elettrico in un qualsiasi piano perpendicolare all'asse del cavo è conservativo ed analogo a quello prodotto da una distribuzione elettrostatica di carica; anche il campo magnetico in qualsiasi piano perpendicolare all'asse è analogo al campo magnetostatico prodotto da una corrente stazionaria.

Da questo segue che è possibile applicare le solite regole per lo studio dei circuiti elettrici in regime stazionario; possiamo definire quindi la differenza di potenziale tra i conduttori per ogni punto x situato lungo il cavo, come:

si può definire la corrente attraverso il conduttore centrale, come:

Se il cavo è sollecitato sinusoidalmente, per la descrizione possiamo utilizzare il metodo simbolico.

Consideriamo un generico tratto di lunghezza infinitesima dx compreso tra due sezioni trasversali poste alle distanze x e x + dx da un punto di riferimento, nell'esempio in figura all'inizio è connesso un generatore sinusoidale di pulsazione ω. Questo tratto può essere schematizzato come in figura dove l, r, g e c rappresentano: l'induttanza, la resistenza, la conduttanza e la capacità (per unità di lunghezza).

Siano V(x) e I(x) le estensioni complesse della differenza di potenziale tra i due conduttori della linea e della corrente nella linea, poichè devono essere calcolate tra x e x + dx avremo V(x)+dV(x) e I(x)+dI(x).

La dV(x) tra la differenza di potenziale in x e in x + dx è prodotta dalle cadute di tensione sull'impedenza rdx + jwldx:

la dI(x) fra la corrente x e la corrente x + dx attraverso i conduttori è dovuta alla corrente che scorre nell'ammettenza gdx + jwcdx:

poichè dV(x)=[dV(x)/dx]dx e dI(x)=[dI(x)/dx]dx, si ha:

derivando l'espressione dV(x)/dx rispetto a x e sostituendola nella derivata di I(x) si ha:

dove si è indicato con γ la quantità complessa:

che si chiama costante di propagazione. La soluzione generale della derivata seconda di V(x) è:

derivando rispetto a x questa e sostituendola in dV(x)/dx=-(r+jωl)I(x), si trova:

dove:

poichè ha le dimensioni di un'impedenza, questa prende il nome d'impedenza caratteristica della linea. γ è una quantità complessa che si può esprimere come:

dove α è detta costante di attenuazione e β costante di fase; sostituendo questa alle precedenti espressioni di γ si ha:

Per verificare che queste soluzioni siano di tipo propagativo annulliamo V2. Quindi avremo:

assumiamo il generatore sinusoidale posto in corrispondenza dell'origine del sistema di riferimento, ossia:

l'estensione complessa è:

abbiamo quindi che V1 deve valere:

quindi avremo:

Prendiamo la parte reale di queste espressioni e otteniamo corrente istantanea i(x,t) e tensione istantanea v(x,t) alla distanza x dal generatore:

dove Z0 e Φ sono modulo e argomento dell'impedenza caratteristica.Il modo di propagazione descritto prende il nome di TEM (transverse electromagnetic mode), perchè la direzione di propagazione dell'onda, x, è perpendicolare sia a E che a H.

Nel caso ideale di una linea senza perdite, con r e g nulli, la costante di attenuazione è nulla, mentre quella di fase: