EQUAZIONE DELLE ONDE

Un'onda è una propagazione nello spazio di un'energia senza il necessario trasporto di materia.
Supponiamo di avere una funzione y=f(x) che al tempo t=0 si trova come in figura. Supponiamo che ad un tempo successivo t>0 si sia spostata nel verso positivo delle x con velocità v.
La funzione può quindi essere indicata dalla seguente funzione:

se il segno nella quantità tra parentesi è negativo l'onda è detta progressiva, altrimenti è detta regressiva.
Il moto ondoso è un combinazione di onde progressive e regressive, cioè:

Consideriamo un'onda unidimensionale in moto lungo l'asse x e sia Ψ(x,t)=Ψ(x±vt) una proprietà dell'onda.

Per quello detto:

Tale funzione è soluzione dell'equazione delle onde:

per verificare questa caratteristica poniamo:

allora la derivata di Ψ(x,t) rispetto a t è:

da questa segue l'identità formale:

e usando tali risultati deriviamo alla seconda:

Ora deriviamo Ψ(x,t) rispetto a x e procediamo in modo analogo:

poi l'identità:

e infine derivando al quadrato e usando tali risultati:

ora confrontando le derivate seconde rispetto a t e rispetto a x si ha:

Ora possiamo dire che l'equazione delle onde descrive un propagazione ondosa e ha come risultato:

Naturalmente i fenomeni fisici si esplicano in tre dimensioni quindi:

e definiamo l'operatore:

quindi: